Měření kurzového rizika



Metoda alternativních scénářů

Předpokládejme, že firma X obdržela fakturu za nakoupené zboží ve výši 100 000 eur se splatností 30 dní. Firma nemá žádná jiná aktiva ani pasiva v eurech. Aktuální měnový kurz činí 28,00 CZK/EUR. Finanční manažeři očekávají, že se měnový kurz během 30 dní s 30 % pravděpodobností nezmění; s 50 % pravděpodobností očekávají znehodnocení kurzu české koruny na 28,10 CZK/EUR a s 20 % pravděpodobností očekávají zhodnocení kurzu české koruny na 27,80 CZK/EUR.

Jaká je průměrná očekávaná kurzová ztráta firmy? S 30 % pravděpodobností se kurz nezmění, a tak firma ani neutrpí kurzovou ztrátu, ani nedosáhne kurzového zisku. S 50 % pravděpodobností se kurz znehodnotí na 28,10 CZK/EUR, takže firma v krátké devizové pozici ve výši 100 000 eur utrpí kurzovou ztrátu 10 000 Kč. S 20 % pravděpodobností se kurz zhodnotí na 27,80 CZK/EUR, což povede ke kurzovému zisku ve výši 20 000 Kč. Celková očekávaná změna hodnoty pohledávky se vypočte jako vážený průměr dílčích změn, přičemž vahami jsou pravděpodobnosti nastoupení jednotlivých variant:

Celková očekávaná změna = 0 – 0,30 – 10 000 – 0,50 + 20 000 – 0,20 = – 1 000 Kč

Finanční manažeři firmy tedy očekávají z dané otevřené pozice průměrnou kurzovou ztrátu ve výši 1 000 Kč. Pro lepší pochopení je výpočet schématicky zachycen ještě v následující tabulce.

zpět na začátek

Postup výpočtu očekávané kurzové ztráty/zisku v předchozí tabulce je poměrně jednoduchý. Situace se poněkud zkomplikuje, pokud budeme mít více otevřených pozic. V tomto případě musíme nejprve vypracovat jednotlivé scénáře vývoje kurzu domácí měny vůči všem příslušným měnám. Následně vypočítáme dílčí kurzové ztráty/zisky v jednotlivých kombinacích možného vývoje domácí měny oproti daným měnám. Celkový očekávaný výsledek je pak opět váženým průměrem dílčích výsledků, přičemž vahami jsou tzv. společné pravděpodobnosti příslušných kombinací jednotlivých scénářů.

Předpokládejme nyní, že firma z předcházejícího příkladu má kromě daného závazku také pohledávku ve výši 50 000 amerických dolarů se splatností 30 dní. Aktuální měnový kurz činí 24,50 CZK/USD. Finanční manažeři očekávají, že se kurz vůči dolaru během 30 dní s 30 % pravděpodobností znehodnotí na 24,60 CZK/USD; se 70 % pravděpodobností očekávají zhodnocení kurzu na 24,40 CZK/USD. Očekávání ohledně vývoje kurzu koruny vůči euru zůstávají stejná jako v předcházejícím příkladě.

Kromě 3 scénářů vývoje kurzu koruny vůči euru je nyní potřeba vzít v úvahu také 2 scénáře vývoje kurzu koruny vůči americkému dolaru. Celkem tedy máme 6 různých kombinací vývoje kurzu koruny vůči euru a vůči dolaru. Pravděpodobnost těchto kombinací je součinem pravděpodobnosti jednotlivých scénářů (tzv. společná pravděpodobnost). Názorně je postup výpočtu celkové očekávané ztráty/zisku znázorněn v následující tabulce.

Celková průměrná očekávaná ztráta z uvedených otevřených pozic činí tedy 3 000 Kč během 30 dní. Postup výpočtu pak dále umožňuje posoudit také rozdělení pravděpodobnosti dílčích výsledků. Tak například můžeme na základě naznačeného výpočtu konstatovat, že s největší pravděpodobností (35 %) utrpí firma z daných otevřených pozic ztrátu ve výši 15 000 Kč. Na druhou stranu existuje ovšem i nezanedbatelná pravděpodobnost (29 %), že firma dosáhne z otevřených pozic naopak zisku.

Kdybychom nyní do našich úvah zakomponovali otevřené pozice v dalších měnách, výpočet by byl z technického hlediska sice zase poněkud obtížnější, avšak podstata by se již nijak dramaticky nezměnila a zůstala by poměrně prozaická. Navíc větší pracnost výpočtu můžeme samozřejmě vyřešit použitím výpočetní techniky s příslušným programovým vybavením.

Závažnějším problémem této metody kvantifikace kurzového rizika je ovšem nutnost určit základní parametry modelu potřebné pro výpočet, kterými jsou hodnoty očekávaného měnového kurzu a jejich pravděpodobnosti. Zde mohou finanční manažeři využít nejrůznější metody predikce měnových kurzů. Potenciální chyby v odhadu je možné zmírnit také tím, že se neprognózují konkrétní hodnoty měnového kurzu, nýbrž určitá pásma, v nichž se s příslušnou pravděpodobností bude v daném časovém horizontu měnový kurz nacházet. Poměrně moderním přístupem je pak použití metody VaR (Value at Risk).

zpět na začátek

Metoda Value at Risk

Metoda VaR (Value at Risk) umožňuje kvantifikovat maximální očekávanou ztrátu z dané pozice na určité hladině spolehlivosti během stanoveného časového intervalu. Je založena na předpokladu, že změny měnového kurzu lze popsat určitým rozdělením pravděpodobnosti. Nejčastěji se přitom používá tzv. normální rozdělení (označované též jako Gaussovo rozdělení). Ke kvantifikaci kurzového rizika jsou pak využity základní vlastnosti normálního rozdělení.

Jde o spojité rozdělení, které je symetrické okolo střední hodnoty s jedním vrcholem. Rozdělení (hustota pravděpodobnosti) má známý zvonovitý tvar, což mimo jiné znamená, že maxima dosahuje ve střední hodnotě. Pro účely měření kurzového rizika je důležité, že je normální rozdělení jednoznačně určeno dvěma základními parametry – střední hodnotou a rozptylem. Oba základní parametry přitom můžeme relativně snadno odhadnout z historického vývoje měnového kurzu.

Jakmile je tímto způsobem popsáno rozdělení procentuálních změn měnového kurzu, můžeme pomocí příslušných percentilů normálního rozdělení kvantifikovat tzv. maximální očekávanou ztrátu na určité hladině spolehlivosti. Využijeme přitom tzv. empirická pravidla, která říkají, že 90 % všech pozorování se nachází ve vzdálenosti cca 1,65krát směrodatná odchylka od střední hodnoty na obě strany, 95 % hodnot se nachází v rámci 2 směrodatných odchylek od střední hodnoty na obě strany a 99,7 % pozorování pak leží v prostoru vymezeném třemi směrodatnými odchylkami od střední hodnoty na obě strany.

Protože je normální rozdělení symetrické, můžeme v souladu s výše uvedeným konstatovat, že pouze 5 % všech pozorování se bude nacházet pod hodnotou ve vzdálenosti 1,65krát směrodatná odchylka pod střední hodnotou a 5 % hodnot bude naopak ležet nad hodnotou ve vzdálenosti 1,65krát směrodatná odchylka nad střední hodnotou.

Použití metody VaR při kvantifikaci kurzového rizika si ukážeme na jednoduchém příkladě. Předpokládejme, že firma X pohledává 100 000 eur se splatností 30 dní. Aktuální měnový kurz činí 28,00 CZK/EUR. Finanční manažer chce zjistit, jaká je maximální očekávaná kurzová ztráta z této pozice během 30 dní s 95 % spolehlivostí. Na bázi historických dat tedy vypočte směrodatnou odchylku σ a průměr měsíčních procentuálních změn měnového kurzu, jenž jako bodový odhad střední hodnoty představuje průměrnou očekávanou procentuální změnu měnového kurzu. Předpokládejme, že vypočtený průměr je –0,2 % a směrodatná odchylka činí 0,8 %. Maximální očekávaný procentuální pokles korunové hodnoty pohledávky během 30 dní se spolehlivostí 95 % pak vypočteme takto:

–0,2 % – 1,65 – 0,8 % = –1,52 %

Se spolehlivostí 95 % nebude apreciace domácí měny během 1 měsíce větší než 1,52 %. Jelikož otevřená pozice činí 2,8 mil. Kč, dosahuje maximální očekávaná ztráta během 30 dní se spolehlivostí 95 % VaR_95,30D částky 42560 Kč.

VaR_95,30D = 2 800 000 · 0,0152 = 42 560 Kč

Které faktory ovlivňují výši maximální očekávané ztráty? Za prvé, hodnotu VaR ovlivňuje průměrná očekávaná změna měnového kurzu. V dlouhé devizové pozici zvyšuje průměrná očekávaná apreciace domácí měny hodnotu VaR, kdežto průměrná očekávaná depreciace ji snižuje. V krátké devizové pozici je tomu přesně naopak – průměrná očekávaná apreciace maximální očekávanou ztrátu snižuje a průměrná očekávaná depreciace ji zvyšuje. V krátké devizové pozici totiž odvozujeme maximální očekávanou ztrátu od maximální očekávané depreciace domácí měny, tj. hledáme příslušný percentil napravo od střední hodnoty.

Vraťme se k našemu příkladu a předpokládejme nyní, že místo pohledávky bude mít firma závazek ve výši 100 000 eur. Všechny ostatní vstupní údaje zůstávají stejné. Firma se nachází v krátké devizové pozici. Maximální očekávanou ztrátu s 95 % spolehlivostí nyní vypočteme takto:

–0,2 % + 1,65 – 0,8 % = 1,12 %

VaR95,30D = 2 800 000 – 0,0112 = 31 360 Kč

zpět na začátek

Za druhé, maximální očekávaná ztráta je závislá na velikosti směrodatné odchylky. Čím je směrodatná odchylka větší, tím je vyšší hodnota VaR, a to jak v dlouhé, tak i krátké devizové pozici. Aktiva a pasiva ve více volatilních měnách jsou tedy za jinak stejných podmínek spojena s větší maximální očekávanou kurzovou ztrátou.

Třetím faktorem, jenž ovlivňuje maximální očekávanou ztrátu, je požadovaná spolehlivost. Čím je stanovená spolehlivost vyšší, tím je větší také hodnota VaR. Kdybychom např. požadovali místo spolehlivosti 95 % spolehlivost 97,5 %, bude maximální očekávaná ztráta určena 2,5 % percentilem v dlouhé pozici a 97,5 % percentilem v krátké pozici. Z empirických pravidel přitom plyne, že se uvedené hodnoty nacházejí ve vzdálenosti přibližně dvou směrodatných odchylek od střední hodnoty. V našem výchozím případě by tedy výpočet maximální očekávané ztráty v dlouhé devizové pozici se spolehlivostí 97,5 % vypadal takto:

–0,2 % – 2 – 0,8 % = –1,8 %

VaR_97,5;30D = 2 800 000 · 0,018 = 50 400 Kč

Pokud jde o časový horizont, je metoda VaR aplikovatelná na různá časová období. Vždy je však potřeba zachovávat časovou konzistenci dat v tom smyslu, že např. pro výpočet maximální očekávané ztráty během 1 měsíce použijeme k výpočtu průměrné procentuální změny kurzu a směrodatné odchylky měsíční data; při výpočtu maximální očekávané ztráty na bázi 1 dne pak budeme vycházet z denních změn příslušného měnového kurzu atp. Je přitom logické, že delší časový horizont bude spojen zpravidla s větší volatilitou, a tím i větší maximální očekávanou ztrátou.

Kvantifikaci kurzového rizika pomocí metody VaR jsme zatím vysvětlovali na příkladě pouze jedné otevřené pozice. V realitě mezinárodního podnikání však mají firmy zpravidla více otevřených pozic v různých měnách. Na tyto otevřené pozice lze nahlížet jako na portfolio měn. Celkovou očekávanou ztrátu z otevřených pozic je pak možné kvantifikovat jako maximální očekávanou ztrátu portfolia měn. Vychází se z toho, že pokud jsou normálně rozdělené procentuální změny kurzu domácí měny vůči jednotlivým měnám, potom mají normální rozdělení také procentuální změny hodnoty portfolia cizích měn v domácí měně, a je tudíž možné použít k měření rizika celého portfolia měn metodu VaR.

Maximální očekávaná ztráta portfolia měn však není pouhým součtem maximálních očekávaných ztrát z jednotlivých pozic. V případě portfolia měn může totiž docházet k tomu, že se jednotlivé měny v portfoliu vyvíjejí navzájem v určitém vztahu (korelaci). Korelace jednotlivých měn přitom může odrážet jak přesně definované vazby v rámci vyhlášených kurzových režimů (např. máme portfolio dvou měn, které vůči sobě navzájem uplatňují systém pevného kurzu), tak i fundamentální ekonomické souvislosti (tak např. kurz většiny evropských měn vůči americkému dolaru je silně závislý na vývoji kurzu amerického dolaru oproti euru).

Existence korelace měnových kurzů významným způsobem ovlivňuje výpočet směrodatné odchylky celého portfolia. Pohyby měnových kurzů se totiž mohou vzájemně kompenzovat. Záleží přitom na stupni vzájemné závislosti příslušných kurzů. Těsnost této závislosti se měří pomocí korelačního koeficientu, jenž může nabývat různých hodnot v rámci 2 extrémů, jimiž jsou dokonalá pozitivní korelace (korelační koeficient je roven 1) a dokonalá negativní korelace (korelační koeficient nabývá hodnoty – 1). Matematicky můžeme směrodatnou odchylku portfolia dvou měn vyjádřit takto:

Ekonomickou interpretaci výše uvedeného vzorce si ukážeme na následujícím příkladě. Předpokládejme, že firma X očekává na základě vystavených faktur za 30 dní příjmy ve výši 100 000 eur a 150 000 amerických dolarů. Aktuální měnové kurzy činí 28,00 CZK/EUR a 24,00 CZK/USD. Na bázi aktuálního měnového kurzu činí korunová hodnota eurové pohledávky 2 800 000 Kč; korunová hodnota dolarové pohledávky je 3 600 000 Kč. Směrodatná odchylka měsíčních změn kurzu domácí měny činí 3 % vůči euru a 5 % vůči dolaru. Korelační koeficient kurzu eura a dolaru je 0,5. Jaká je směrodatná odchylka portfolia měn?

Korunová hodnota portfolia je 6 400 000 Kč. Váha eura v portfoliu je 43,75 % (2,8/6,4); podíl dolaru činí 56,25 % (3,6/6,4). Směrodatnou odchylku portfolia vypočteme tedy takto:

zpět na začátek

Směrodatná odchylka portfolia měn je menší než vážený průměr směrodatných odchylek jednotlivých měn, který činí 4,125 %. To je dáno tím, že korelační koeficient kurzu eura a dolaru je nižší než 1. Dochází k diverzifikaci rizika, která v dlouhé pozici spočívá v tom, že případné zhodnocení domácí měny vůči jedné měně může být kompenzováno znehodnocením oproti měně druhé. Logicky je tak diverzifikace rizika tím větší, čím je nižší hodnota korelačního koeficientu. Ideální situace z hlediska minimalizace rizika portfolia by nastala tehdy, pokud by procentuální změny obou kurzů byly perfektně negativně korelovány. V tomto případě by směrodatná odchylka portfolia byla pouze 1,5 %.

Méně než 1,5 % už směrodatná odchylka portfolia v našem případě být nemůže. Americký dolar má totiž větší váhu, a tak zhodnocení domácí měny vůči americkému dolaru nemůže být nikdy zcela vykompenzováno znehodnocením oproti euru. Pokud by však obě měny měly v portfoliu stejnou váhu a současně by byly perfektně negativně korelované, byla by diverzifikace rizika úplná, tj. směrodatná odchylka portfolia by byla nulová.

Pokud jde o průměrnou očekávanou procentuální změnu hodnoty portfolia, je již výpočet relativně jednoduchý. Průměrná očekávaná procentuální změna hodnoty portfolia dvou měn je totiž váženým průměrem očekávaných procentuálních změn jednotlivých kurzů, přičemž vahami jsou podíly příslušných měn v portfoliu.

Vraťme se nyní k našemu výchozímu příkladu a předpokládejme, že průměrná očekávaná změna kurzu koruny vůči euru na bázi měsíčních průměrů činí – 0,2 %, zatímco průměrná očekávaná změna kurzu koruny vůči dolaru je na stejném časovém horizontu – 0,1 %.

Průměrnou očekávanou procentuální změnu hodnoty portfolia vypočteme následujícím způsobem:

– 0,2 %*0,4375 – 0,1 %*0,5625 = – 0,14375 %

Jelikož jsme již vypočetli jak směrodatnou odchylku portfolia, tak i průměrnou očekávanou procentuální změnu hodnoty portfolia, můžeme standardním způsobem vyjádřit maximální očekávanou ztrátu portfolia na určité hladině spolehlivosti. Tak např. se spolehlivostí 95 % můžeme říci, že procentuální pokles hodnoty portfolia bude činit maximálně cca 6,2 %.

– 0,14375 % – 1,65*3,65 % = – 6,16625 %

Poněvadž hodnota portfolia v korunovém vyjádření činí 6 400 000 Kč, je celková maximální očekávaná ztráta z uvedených pozic během 30 dní se spolehlivostí 95 % 394 640 Kč.

6 400 000 – 0,0616625 = 394 640 Kč

V našem příkladě jsme měli 2 dlouhé devizové pozice. Kdybychom měli naopak 2 krátké devizové pozice, byl by postup výpočtu velmi podobný. Maximální očekávaná ztráta by však v tomto případě byla dána maximálním očekávaným růstem korunové hodnoty portfolia pasiv v cizích měnách. Příslušný násobek směrodatné odchylky portfolia bychom tedy k průměrné očekávané procentuální změně hodnoty portfolia přičetli, čímž bychom dostali maximální očekávaný procentuální růst hodnoty portfolia pasiv s příslušnou spolehlivostí, jenž bychom dále vynásobili absolutní velikostí krátké otevřené pozice v korunovém vyjádření.

Pokud bychom měli více než dvě otevřené pozice, bylo by z důvodů značné pracnosti výpočtu nutné použít příslušné programové vybavení. Základní interpretace výsledků kvantifikace kurzového rizika, jež je podstatná pro další rozhodnutí finančních manažerů, se však již nijak nemění. Výsledkem bude vždy maximální očekávaná ztráta z otevřených devizových pozic ve stanoveném časovém horizontu s požadovanou spolehlivostí.

Hlavní výhoda metody VaR spočívá především v tom, že umožňuje kvantifikovat maximální očekávanou ztrátu z otevřených pozic s určitou spolehlivostí bez nutnosti subjektivních predikcí budoucího vývoje měnového kurzu, které jsou vždy poněkud problematické. Prognózy měnového kurzu jsou zde nahrazeny předpokladem, že procentuální změny měnového kurzu mají normální rozdělení. V realitě však ceny finančních instrumentů vykazují oproti normálnímu rozdělení obvykle určité odchylky. Tak například oproti normálnímu rozdělení se u cen finančních instrumen